la versión original dio esta historia apareció en Revista Quanta.
Parados en medio de un campo, podemos olvidar fácilmente que vivimos en un planeta redondo. Somos tan pequeños en comparación con la Tierra que desde nuestra perspectiva parece plana.
El mundo está lleno de esas formas, aquellas que parecen planas para una hormiga que vive en ellas, aunque puedan tener una estructura general más complicada. Los matemáticos llaman a estas diversas formas. Introducida por Bernhard Riemann a mediados del siglo XIX, la variedad transformó la forma en que los matemáticos piensan sobre el espacio. Ya no era sólo un escenario físico para otros objetos matemáticos, sino más bien un objeto abstracto y bien definido que merecía ser estudiado en sí mismo.
Esta nueva perspectiva permitió a los matemáticos explorar rigurosamente espacios de dimensiones superiores, lo que condujo al nacimiento de la topología moderna, un campo dedicado al estudio de espacios matemáticos como las variedades. Los colectores también han llegado a ocupar un papel central en campos como la geometría, los sistemas dinámicos, el análisis de datos y la física.
Hoy, brindan a los matemáticos un vocabulario común para resolver todo tipo de problemas. Son tan fundamentales para las matemáticas como el alfabeto lo es para el lenguaje. «Si sé cirílico, ¿sé ruso?» dijo Fabrizio Bianchi, matemático de la Universidad de Pisa en Italia. «No. Pero intenta aprender ruso sin aprender cirílico».
Entonces, ¿qué son las variedades y qué tipo de vocabulario proporcionan?
Las ideas toman forma
Durante milenios, la geometría ha significado el estudio de objetos en el espacio euclidiano, el espacio plano que vemos a nuestro alrededor. «Hasta el siglo XIX, ‘espacio’ significaba ‘espacio físico'», dijo José Ferreirós, filósofo de la ciencia de la Universidad de Sevilla en España: el análogo de una línea en una dimensión o un plano en dos dimensiones.
En el espacio euclidiano, las cosas se comportan como se esperaba: la distancia más corta entre dos puntos cualesquiera es una línea recta. Los ángulos del triángulo suman 180 grados. Las herramientas de cálculo son fiables y están bien definidas.
Pero a principios del siglo XIX, algunos matemáticos habían comenzado a explorar otros tipos de espacios geométricos: aquellos que no son planos sino curvos como una esfera o una silla de montar. En estos espacios, las líneas paralelas pueden eventualmente cruzarse. Los ángulos de un triángulo pueden sumar más o menos de 180 grados. Y hacer el cálculo puede resultar mucho menos sencillo.
La comunidad matemática luchó por aceptar (o incluso comprender) este cambio en el pensamiento geométrico.
Pero algunos matemáticos querían llevar estas ideas aún más lejos. Uno de ellos fue Bernhard Riemann, un joven tímido que originalmente había planeado estudiar teología (su padre era pastor) antes de sentirse atraído por las matemáticas. En 1849 decidió realizar su doctorado bajo la tutela de Carl Friedrich Gauss, quien estudiaba las propiedades intrínsecas de curvas y superficies, independientemente del espacio que las rodea.
